Funkcje matymatyczne- Dziedzina funkcji i zbiór wartości funkcji
Dziedziną funkcje, jak pamiętamy, jest zbiór w którym ta funkcja została określona, Zbiór ten nazywamy też zbiorem określoności funkcji, a jego elementy - argumentami funkcji.
 |
| Funkcje matymatyczne- Dziedzina funkcji i zbiór wartości funkcji |
Zbiorem wartości funkcji nazywamy natomiast zbiór, na który funkcja ta odwzorowuje swoją dziedzinę.
Zatem X jest dziedziną funkcji f, zaś Y— zbiorem wartości tej funkcji, jeśli f : X→ Y
Y, to znaczy, jeśli f (X) = Y. Na przykład:
- 1. Jeżeli każdemu człowiekowi przyporządkujemy jego matkę, to otrzymamy funkcję, której dziedziną jest zbiór wszystkich ludzi, a zbiorem wartości pewien niepusty pod¬zbiór zbioru wszystkich kobiet.
- 2. Każdemu odcinkowi przyporządkujmy jego środek. Otrzymujemy w ten sposób funkcję, której dziedziną jest zbiór odcinków, a zbiorem wartości — zbiór punktów.
- 3. Każdemu trójkątowi przyporządkujmy jego obwód. Tym razem mamy funkcję, której dziedziną jest zbiór wszystkich trójkątów, a zbiorem wartości — zbiór liczb rzeczywistych dodatnich.
W dalszym ciągu naszych rozważań ograniczymy się do funkcji liczbowych i to określonych najczęściej wzorem.
Za dziedzinę funkcji określonej wzorem przyjmujemy zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których podany wzór funkcji ma sens, czyli dla których wszystkie występujące we wzorze funkcji działania są wykonalne. Prześledźmy to na wielu przykładach.
Przykład 1:
Dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x)= 2x-1 jest zbiór R wszystkich liczb rzeczywistych, ponieważ chcąc obliczyć wartość tej funkcji dla danej liczby rzeczywistej x, należy x pomnożyć przez 2, a następnie od iloczynu 2x odjąć 1. Wymienione działania możemy wykonać dla dowolnej liczby rzeczywistej x.
Przykład 2:
Dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x) = 2/-3x+1/ jest zbiór tych liczb 1 rzeczywistych, dla których -3x+ 1 # 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne).
Zatem dziedziną funkcji f jest zbiór (x∊ R: -3x+1 # 0), czyli zbiór {x∊ R : x # 1/3 }
a więc zbiór R \ { 1/3 }.
Przyklad 3:
Niech f(x)= x/x²+1
Ponieważ x2 + 1 # 0 dla każdej liczby rzeczywistej x (a nawet x²+ 1 >= 1), przeto Df = R.
Przykład 4:
Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 2x -1, gdy x ∊ ( - 3, — 2, — 1, 0, 1, 2, 3,}. Rozwiązanie:
Niech A= {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}.
Wówczas zbiorem wartości funkcji f określonej na zbiorze A jest zbiór
f(A) = {f (x); x∊ A} = { f (-3),f(-2),f(-1), f (0), f(1), f(2), f (3) } = {-7 , -5, -3, -1, 1, 3, 5}
Przykład 5:
Niech f(x) = √(1-x²).
Ponieważ nie istnieje pierwiastek arytmetyczny stopnia drugiego z liczby ujemnej, więc Df = {x ∊ R: 1 -x2 ⩾ 0} = { x ∊ R: x²⩽ 1} = { x ∊ R: √x² ⩾ 0} = { x ∊ R: ｜x｜⩽ 1} = { x∈ R: x2 ⩽ 1} = x∊ R } = (-1; 1).
Przykład 7:
Wyznacz
zbiór wartości funkcji f (x)= x² + 2, gdy x ∊ ⦏-2; 3 ⦐. Rozwiązanie:
Sporządźmy najpierw wykres tej funkcji :
 |
| Funkcji matymatyczne- Dziedzina funkcji i zbiór wartości funkcji |
I widzimy teraz, że f (⦏ -2; 3 ⦐) = ⦏2; 11 ⦐.
Przykład 8:
Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = I x— 4 I gdy x ∊ ⦏-2;
—1⦐ U ⦏5; 7 ⦐. Rozwiązanie:
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, zacznijmy od
sporządzenia wykresu danej funkcji. Z
określenia wartości bezwzględnej mamy
∣x-1∣ x-1: x⩾ 1
⎨-x+1: x< 1
zatem f(x) jest postaci :
f(x) = x-1: x⩾ 1
⎨1-x: x< 1
f(x) = x-1: x⩾ 1
⎨1-x: x< 1
Oto wykres tej funkcji
zatem f(x) jest postaci i widzimy ze zbiorem wartosci funkcji f(x) = ∣ x-1∣ , gdy x∈ ⦏-2; -1 ) U ⦏5 ;7) jest zbior (2; 3⦐ U ⦏4; 6)
-2 : x ∈ ⦏— 2; 2)
zatem f(x) jest postaci i widzimy ze zbiorem wartosci funkcji f(x) = ∣ x-1∣ , gdy x∈ ⦏-2; -1 ) U ⦏5 ;7) jest zbior (2; 3⦐ U ⦏4; 6)
Przykład 9:
Znajdź zbiór wartości funkcji f (x) = [x], gdy x ∈ ⦏-2; 2⦐.
Rozwiązanie: Z określenia symbolu [ x ] wynika, że
-2 : x ∈ ⦏— 2; 2)
⎨-1 : x ∈ ⦏— 1; 0 )
x = 0 : x ∈ ⦏0; 1)
⎨1 : x ∈ ⦏1; 2⦐
2 : x =2
Stade zbiorem wartosci funkcji f(x)= ⦏x⦐, gdy x∈ ⦏-2; 2⦐ jest zbior {-2, -1, 0, 1, 2}
0 Komentarze