Funkcje i wielomiany-Zadania i rozwiązania matematyczne z egzaminow
W tym artykule przedstawiamy 10 ćwiczeń funkcji jednostkowych i wielomianów z typowymi rozwiązaniami >>KLIKNIJ TUTAJ, ABY UZYSKAĆ WIĘCEJ POWIĄZANYCH KSIĄŻEK I ARTYKUŁY |
| Funkcje i wielomiany-Zadania i rozwiązania matematyczne z egzaminow |
1) Dana jest funkcja f, której wykresem jest prosta przechodząca przez punkty A = (1; 6) i B = (-3; -2). Rozwiązać równanie If(2x)I = 4.
Odp, x=0 i x=-2.
2) Rozwiązać równanie :∣ x-4 ∣ + x = 4.
Odp. x ∈ (-∞; 4).
3) Rozwiązać równanie : ∣ 2x+12 ∣ ⪃ 22
Odp x ∈ ⦍-17; 5⦎.
4)Rozwiązać równanie :∣ x -1 ∣ + ∣ x -5 ∣ ⪃ 10 -2x
Odp x ∈ (-∞; 3)
5) Uprościć ułamek: √( x² -4x +4 / 2 -x )
Odp. 1 dIa x <2 , -1 dla x> 2.
6) Sporządzić wykres funkcji : x→y= x - ∣ 5 -x∣
7) wyznaszyc zbior wszystkich punktow plaszcyszny, ktorych wspolrzedne x,y spelniaja rownanie 2∣y∣-x+1= 0
8) Dana jest funkcja ciagla i okresowa o okresie T= 8 okreslona nastepujaco: f(x)= ∣x∣-4 gdy x ∈ ⦍-4; 4⦎. Rozwiązać równanie : f(x) ⩽ -2.
Odp. x∈ ⦍-2+8k; 2+8k⦎ k ∈ C
9) Dla jakych wartosci a suma kwadratow pierwiastkow rezeczywitych rownania x²+ax-a+3= 0 osiaga najmniejsza wartosc.
Odp 2.
10) Pierwiastkami trojmnanie kwadratwego f(x)= ax²+bx+c sa liczby 2 i 4.
Wynacz iloraz f(8)/f(3)
Odp -24.
Rozwiązania :
1) przewidujemy rownanie prostej AB w postaci y= ax +b .
Wsplrzedne punktow A i B musza spleniac to rownanie, musimy wiec rozwiezac uklad
Rownan a+b = 6
⎨-3a+b = -2
Odjemujac rownania stronami dostajemi 4a= 8 i stad : a=2 ⋀ b=4 .Mamy wiec f(x)= 2x +4 i stad:
∣f(2x)∣ = 4 ⇔ ∣2.2x+4 ∣ = 4 ⇔ ∣4x +4∣ ⇔ ( x = -2 ∨ x = 0 )
2) Z definicji wartosci bezwzglednej mamy:
∣a∣ = a dla a ≥ 0
⎨-a dla a < 0
czyli :
∣x-4∣ +x ⇔ ⦗ ( x-4+x = 4 ∧ x ≥ 4 ) ∨ ( -x+4 +x = 4 ∧ x< 4 ) ⦘ ⇔ x ∈ (-∞; 4)
3) Zastosujemy twierdzenie :
a>0 ⇒ ⦗ ∣x∣ ≤ a ⇔ -a ≤x≤ a ⦘
Mamy wiec: -22≤2x+12≤ 22 i stad x ∈ ⦗-17; 5⦘3) Zastosujemy twierdzenie :
a>0 ⇒ ⦗ ∣x∣ ≤ a ⇔ -a ≤x≤ a ⦘
5) Okreslamy znaki wyrazen stojacych pod wartosciami bezwzglednymi :
Rozwiazanie nierownosci ∣x -1∣ + ∣x -5∣ ≤ 10 -2x jest rozwiazaniem alternatywy :
-x+1-x +5≤ 10 -2x
⎨x∈ (-∞; 1⦎ ∨:
x-1 -x+5≤ 10 -2x
⎨x∈ ⦍1; 5) ∨:
x-1 +x -5 ≤ 10 -2x
⎨x∈ ⦍5; +∞)
Po rozwiazaniu otrzymujemy :
0.x ≤ 4
⎨x∈ (-∞; 1⦎ ∨ :
x ≤ 3
⎨x∈ ⦍1; 5) ∨ :
x ≤ 4
⎨x∈ ⦍5; +∞)
x∈ (-∞; 1⦎ ∨ x∈ ⦍1; 3⦎ i stad : x∈ (-∞; 3⦎
6) y= x-∣5-x∣ ⇔
y= x-(5-x) gdy 5-x≥0
⎨x+(5+x) gdy 5-x<0 ⇔ :
y= 2x-5 gdy x≤5
⎨5 gdy x>5
7) 2∣y∣-x+1= 0 ⇔ ⦗ ( 2y-x+1= 0 ∧ y≥0 ) ∨ ( -2y-x+1= 0 ∧ y<0 ) ⦘ ⇔ :
⦗ ( y= (1/2)x-(1/2 ) ∧ y≥0 ) ∨ ( y= -(1/2)x+(1/2) ∧ y<0 ) ⦘
Narysowac nalezy sume dwoch polporstych o wspolnym pokczatku punkcje (1; 0)
8) Rysujemy wykresy funkcji f i x⟼y= -2 oraz odczytujemy zbior rozwiazan nierownosci f(x)≤ -2 ⇔ x ∈ ⦍-2+8k; 2+8k⦎; k ∈ C
9) Rownanie x²+ax-a+3= 0 ma pierwiastki rezeczywiste gdy Δ≥0
Δ≥0 ⇔ a²-4(3-a)≥ 0 ⇔ a²+4a-12≥ 0 ⇔ a ∈ (-∞; 6⦎ ∪ ⦍2; +∞).
Wynaczamy teraz, korzystajac ze wzorow viete a funkcje, ktora przyporzadkowuje parametrowi "a" wartosc sumy kwadratow pierwiastkow rownania.
poniewaz x1²+x2²= ( x1+x2 )² -2(x1.x2) = a²+2a-6 .
To funkcja ta ma postac:
a⟼a²+2a-6, gdzie a ∈ (-∞; 6⦎ ∪ ⦍2; +∞). jej wykresem jest czesc paraboli
funkcja ta osiaga wartosc najmniejsza dla parametru a=2.
10) Przedstawiamy trojmian kwadratowy w postaci iloczynowej f(x)= a(x-2)(x-4) i kortzystajac z tej postaci wyznaczamy f(8)= 24a i f(3)= -a, gdzie a# 0.
obliczamy f(8)/f(3)= 24a/-a = -24
0 Komentarze